Фамилия Баскины — это не единственная форма; чаще встречается вариант Баскин, но обе образованы от одного корня. Разберёмся, откуда он взялся.

Самый прямой путь — от прозвища Баска. Тут есть несколько версий, и каждая по-своему интересна. Первая отсылает к слову «баска» — широкой оборке, которую пришивали к лифу платья. Это слово пришло в русский язык из французского (basque) в начале XVIII века вместе с модой на европейские наряды. Если предок был портным или торговал тканями, его вполне могли прозвать Баской по детали одежды, которую он чаще всего шил или продавал.

Вторая версия ведёт к слову «бас» — низкому голосу. Человека с таким тембром могли в шутку назвать Баской. Третья, более поэтичная, связана с диалектным словом «баса» — красота, нарядность, изящество. В этом случае прозвище мог получить либо статный красавец, либо тот, кто любил принарядиться и щегольнуть. В некоторых говорах «баской» означало ещё и говоруна, краснобая — так что прозвище могло указывать на характер.

В исторических документах встречается однокоренная фамилия: в 1608 году в Нижнем Новгороде записан бортник Иван Басков. Бортник — это человек, добывающий мёд диких пчёл. Хотя это не прямая запись о Баскиных, она показывает, что корень «баск-» бытовал на Руси уже в начале XVII века и использовался для именования людей по их занятиям или приметам.

Фамилия образована по типичной русской модели: к основе Баск- добавился суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Баски). Окончание -ы во множественном числе (Баскины) характерно для семейных прозваний, когда говорят о целой семье или роде. О точном месте и времени возникновения фамилии сейчас говорить сложно — процесс формирования фамилий был долгим, но можно уверенно сказать, что её корни уходят в народную речь и быт, будь то портняжное дело, внешность или характер предка.