Фамилия Басковский образована по типичной для восточнославянских фамилий модели с суффиксом -ский. Этот суффикс чаще всего указывает на территориальную или сословную принадлежность: такую фамилию мог получить либо выходец из села или местечка с названием Басково, Баска, либо потомок шляхтича, владевшего таким имением. Корень «баск-» в данном случае — ключ к разгадке.

Самая вероятная версия связывает основу с тюркским словом «баскак» — так на Руси называли ханского наместника, сборщика дани в эпоху Золотой Орды. Слово вошло в древнерусский язык и со временем превратилось в прозвище Баскак, а затем и в фамилию Баскаков. Форма Басковский могла возникнуть как вариант или как фамилия по названию населённого пункта, где жили потомки такого человека. В пользу этой версии говорит и то, что фамилии на -ский в старину чаще носили дворяне и духовенство, а не крестьяне, и Басковские могли быть обрусевшим служилым родом татарского происхождения.

Менее распространённая, но возможная версия — от диалектного глагола «баскать», который в некоторых говорах означал «говорить громко, кричать» или даже «хвастать». В таком случае прозвище Баской (Баский) давали человеку бойкому, голосистому или хвастливому, а его потомки становились Басковскими. Однако эта гипотеза слабее, потому что прозвища обычно ложились в основу фамилий на -ов или -ин, а не на -ский.

Географических привязок у фамилии немного. В России встречаются деревни Басково в Тверской и Вологодской областях, но их названия скорее всего тоже восходят к тому же прозвищу или фамилии. Фамилия Басковский — редкая, не входит даже в первую тысячу распространённых русских фамилий, и её носители рассеяны по разным регионам без выраженного гнезда.

Таким образом, фамилия Басковский — скорее всего, потомок древнего прозвища Баскак, закрепившийся в дворянской или духовной среде благодаря суффиксу -ский. Это не фамилия ремесленника или крестьянина, а указание на родство с определённым человеком или местом, имевшим отношение к ордынской дани.