Фамилия Баймур звучит не по-русски, и это первая зацепка. В ней нет ни славянского суффикса принадлежности (-ов, -ин), ни типичного окончания. Основа явно тюркская, что сразу указывает на географию происхождения: скорее всего, Поволжье, Урал, Западная Сибирь или Северный Кавказ — территории, где веками жили татары, башкиры, казахи или ногайцы.

Разбираем имя Баймур. Первая часть — «бай» (богатый, хозяин, господин). Вторая — «мур», что сложнее. Самая вероятная версия: «мур» — это искажённое арабское «мур» или «мурад» (желание, цель, намерение). В таком случае Баймур — «богатое желание» или «великая цель». Есть и другая гипотеза: «мур» может восходить к тюркскому «мур» (печать, знак), и тогда имя означало «богатая печать» — метафора значимости и власти. Третий, менее распространённый вариант: «мур» — это «мурза» (князь, знатный человек), то есть Баймур — «богатый князь».

В любом случае, это не прозвище, а личное имя. У тюркских народов такие имена-пожелания (Баймурад, Баймурза) были обычны: родители желали сыну богатства и высокого положения. Позже, при переходе на русскую систему фамилий, имя Баймур закрепилось как фамилия без дополнительных суффиксов — так называемые «застывшие» формы. Это характерно для фамилий тюркского происхождения, особенно если носители были из крещёных татар или башкир, у которых русификация фамилий шла медленнее.

Сословно предки Баймуров — скорее всего, не крестьяне-общинники, а люди, имевшие определённый вес: зажиточные крестьяне, мелкие торговцы или служилые татары. Фамилия редкая, встречается в основном в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской и Челябинской областях. В дореволюционных метриках её можно найти в записях о мусульманах, но изредка — и у православных, если имя давали при крещении.

Сравните с однокоренными: Баймуратов, Баймурзин, Баймухаметов. Все они держатся на той же основе «бай» и указывают на социальный статус предка. Баймур — самая краткая форма, без наращений, что говорит о её древности: такие фамилии часто старше тех, что оформились через суффиксы.