Фамилия Байренко — нечастая, и её разговорная, почти «домашняя» модель образования даёт ключ к пониманию. Суффикс -енко в украинской традиции указывает на происхождение от отца или на принадлежность к роду: буквально «сын Байры». Но что такое «Байра»? В основе лежит прозвище, и здесь возможны два пути, причём один явно перевешивает.

Первый, самый вероятный, — тюркское происхождение. Слово «бай» в тюркских языках означает «богатый», «господин», «хозяин». Оно часто входило в состав имён и прозвищ (Байрам, Байбулат). Форма «Байра» могла быть сокращением от такого имени или самостоятельным прозвищем, данным человеку зажиточному или властному. На юге России и в украинских степях, где исторически были контакты с тюркскими народами, подобные заимствования в фамилиях — обычное дело. Вторая версия, менее убедительная, связывает «Байру» с диалектным глаголом «байрить» — говорить пустое, болтать. Но эта гипотеза слаба: глагол редок, а прозвище «Болтун» вряд ли дало бы такую фамилию, распространённую в определённых регионах.

Географически фамилия Байренко тяготеет к восточной Украине и югу России, к землям бывшей Слобожанщины и Запорожья. Если ваш предок носил такую фамилию, он с высокой долей вероятности происходил из казачьей или крестьянской среды, где прозвища давали по внешним или имущественным признакам. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто закрепляли за крестьянами помещики, Байренко — форма более «народная», возникшая в среде, где человека называли по отцу или деду, а не по месту жительства.

Сравните с однокоренными: Байрамов, Байрашев — там тюркская основа очевидна. Байренко стоит в этом ряду как украинский вариант, «одомашнивший» тюркский корень с помощью типичного суффикса. Никаких дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано — это фамилия людей, которые «ходили за плугом» или служили в казачьем войске, а не сидели в боярских палатах.