Фамилия Базатин — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы понять, откуда она взялась, стоит начать не с корня, а с суффикса. Окончание -ин указывает на притяжательную модель: «чей?» — Базатин, то есть сын или потомок человека по имени или прозвищу Базата. Это старая русская модель, распространённая в северных и центральных областях России, где фамилии на -ин так же часты, как на -ов на юге.

Основа Базат- — самое интересное. В русских говорах слово «базата» или «базатый» могло означать «крикун», «горлопан» или «хвастун». В словаре Владимира Даля зафиксирован глагол «базать» — кричать, шуметь, плакать без удержу. Прозвище Базата давали человеку шумному, бойкому, тому, кто не лез за словом в карман. Такие прозвища были обычны в крестьянской среде и позже, при закреплении фамилий в XIX веке, перешли в фамилию.

Есть и другая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование. В некоторых южнорусских и украинских говорах «базати» означало «хотеть», «желать». Тогда Базата — это «желанный», долгожданный ребёнок. Однако эта гипотеза слабее: глагол «базати» в значении «желать» был распространён узко, а прозвища от него почти не образовывались. Версия с «крикуном» надёжнее и подкреплена словарной традицией.

Географически фамилия Базатин тяготеет к центральным регионам России. Встречается она редко, и в дореволюционных переписях её носители, скорее всего, были крестьянами или мещанами. Никаких дворянских родов с такой фамилией не известно — это типичная «низовая» фамилия, образованная от уличного прозвища.

Если коротко: ваши предки получили фамилию от прозвища Базата — скорее всего, за громкий голос и живой нрав. Никакой экзотики, зато прямое указание на характер человека, жившего два-три века назад.