Фамилия Базегский — редкий случай, когда корни уходят прямо в географию Русского Севера. Её основа — не имя и не прозвище, а топоним: река Базеги или Базегское озеро в Вологодской области. Такая модель образования (от названия местности + суффикс -ск-) была типична для дворянских и духовных фамилий, но в реальности её получали и крестьяне, переселившиеся из одной волости в другую. Вологодчина — зона древнего контакта финно-угорских народов, и гидроним Базега не имеет славянского происхождения.

Здесь возможны две версии, и обе не противоречат языковой картине региона. Саамское basse означает «святой» — в таком случае реку могли почитать как священную. Вепсское vaza («телёнок») в сочетании с jogi («река») даёт «телячью реку» — прозвище по хозяйственному признаку, например, по месту выпаса скота. Какая из версий вернее, сказать сложно: в ономастике не принято гадать без письменных источников, но обе лингвистически возможны.

Фамильный суффикс -ский указывает на то, что носитель фамилии когда-то был выходцем с этих земель. Базегский — не человек с реки Базеги, а «тот, кто родом с Базеги». Такие фамилии часто закреплялись за священниками (семинарские фамилии нередко давали по названию села или прихода), но могли возникнуть и у крестьян, переехавших в другую волость и получивших прозвание по прежнему месту жительства.

Фамилия остаётся редкой: в современных справочниках она почти не встречается, а её носители, скорее всего, сосредоточены на северо-западе России. Сравните с однокоренными топонимическими фамилиями вроде Вологодский, Онежский, Каргопольский — все они держатся той же модели «река/озеро + -ский» и указывают на локальное происхождение.