Фамилия Базекин — редкая и неочевидная. Разберем её по косточкам, отталкиваясь от самого нестандартного элемента: суффикса «-ех-» и финали «-ин».

Сразу бросается в глаза, что основа — «Базек-». В русских фамилиях суффикс «-ех-» встречается нечасто и обычно указывает на прозвище, образованное от глагола или имени с помощью уменьшительно-пренебрежительного или, наоборот, ласкательного оттенка (сравните: «мелех» от «молоть», «телех» от «тело»). В случае Базекина, скорее всего, основа восходит к личному имени или прозвищу Базека. Само имя Базека — это народная, разговорная форма от крестильного имени Василий (через цепочку: Василий → Васёк → Вазёк → Базёк/Базека). Подобное переосмысление звуков (В в Б) — явление нередкое в диалектной речи, особенно в северных и сибирских говорах. Таким образом, Базекин — это «сын Базеки», то есть потомок человека, которого в быту звали уменьшительно от Василия.

Но есть и другая, более прямая версия. В некоторых русских говорах слово «базека» или «базёка» могло означать «болтун», «пустомеля» или «крикун». Происходит оно от глагола «базить» — говорить громко, пустословить, бахвалиться. Если так, то прозвище Базека получил человек с соответствующим характером, а его дети стали Базекиными. Эта версия не менее правдоподобна, чем первая, и даже более колоритна, так как сразу рисует портрет предка.

Географически фамилия тяготеет к северу России и Уралу. В переписях XVII–XVIII веков Базекины встречаются в Вятской и Пермской губерниях — регионах, где активно шло заселение и где фамилии часто записывались «на слух», по прозвищам. В документах можно найти и параллельные написания — Базякин, Базёкин, что только подтверждает живую, устную природу происхождения.

Важный нюанс: в фамилии ударение, скорее всего, падает на второй слог — Базе́кин. Это типично для фамилий на «-ехин» (сравните: Меле́хин, Теле́хин). Если бы ударение было на первый слог (Ба́зекин), это указывало бы на основу «баз» (от «база», «базлать»), что маловероятно для данной модели.

Итог: Базекин — фамилия не аристократическая, а крестьянская или посадская. Её носитель в XVI–XVII веках был либо «Васильевым внуком» в местном пересказе, либо человеком, получившим прозвище за громкий голос и словоохотливость. Обе версии ведут в одну среду — простых людей Русского Севера, чьи имена и прозвища записывали так, как слышали.