Фамилия Базекина — женская форма мужской фамилии Базекин. В русской традиции фамилии на -ин образуются от основ, оканчивающихся на -а или -я. Разберём, что скрывается за основой «Базек-».

Самый прямой путь — прозвище или имя Базека. В русских говорах, особенно в северных и сибирских, «базекать» означало «болтать, пустословить, говорить вздор». Человека, который любил поговорить без дела, могли прозвать Базекой. Суффикс -ек- здесь уменьшительно-пренебрежительный, характерный для просторечных личных имён и прозвищ (ср. Ванька — Ванек, Петька — Петек). Так что Базекин — буквально «сын Базеки», то есть потомок болтуна или говорливого человека.

Есть и менее очевидная версия, связанная с географией. В ономастическом словаре Б. Унбегауна встречается упоминание фамилии Базекин как возможной производной от названия реки Базега (приток Камы). Житель берегов такой реки мог получить прозвище Базега, а его потомки — фамилию Базегин, которая со временем через народную переделку могла превратиться в Базекин. Однако эта гипотеза слабее: фамилия Базегин встречается реже, и звуковой переход «г» в «к» в этом случае нехарактерен для русской фонетики без дополнительных причин.

Фамилия редкая. По данным современных телефонных справочников и баз переписей, Базекины встречаются в основном в Кировской области и Удмуртии. Это регионы, где было сильно влияние северорусских говоров со словом «базекать». Там же фиксируется и однокоренная фамилия Базегов, что может указывать на единый прозвищный корень, но с разными суффиксами.

В дворянских родословных книгах фамилия не значится. Базекины — крестьянский или мещанский род, что типично для прозвищных фамилий, закрепившихся в XVI–XVII веках в среде черносошных крестьян и посадских людей.