Фамилия Базекешов — редкий и яркий пример, когда в основе фамилии лежит не имя и не профессия, а сложное прозвище, собранное из двух корней. Разбираем её по частям.

Первый корень — «баз» или «базе». В тюркских языках (особенно в казахском, башкирском, татарском) слово «баз» означает «богач», «хозяин», «господин» (ср. «бай»). Второй корень — «кеш» (или «кече»), что переводится как «вечер», «ночь» или «позднее время». Вместе «базекеш» буквально означает «вечерний богач» или «ночной хозяин». Звучит загадочно, но за этим прозвищем, скорее всего, стояла конкретная бытовая деталь: так могли назвать человека, который любил гулять, пировать или вести дела по ночам, либо того, кто работал в ночную смену — сторожа, ночного пастуха или содержателя вечернего постоялого двора.

Суффикс «-ов» — русский патронимический, указывает на принадлежность: «сын Базекеша». То есть фамилия образована по стандартной для Российской империи модели от тюркского прозвища. Это типично для народов Поволжья, Урала и части Сибири, где русская администрация фиксировала местные имена и прозвища с добавлением русского окончания.

Географически фамилия должна встречаться в регионах с татаро-башкирским населением — в Башкортостане, Татарстане, Оренбургской, Челябинской областях. Встречается она крайне редко, что делает её ценной для генеалогии: каждый носитель, вероятно, происходит из одного или двух родов.

В ономастических справочниках (например, у Б. Унбегауна или А. Суперанской) эта фамилия не описана — она не входит в массовые списки. Но по модели образования она близка к фамилиям вроде Байтемиров, Базаров или Кешев, где второй корень тоже указывает на время или действие.

Версия, что «Базекеш» — искажённое имя от «Базар-кеш» (то есть «ходящий на базар»), менее правдоподобна: звуковой переход «р» в «з» в тюркских языках нехарактерен, а форма «базекеш» устойчивее для прозвища. Так что предки носителя фамилии — скорее всего, человек с заметной ночной активностью, возможно, зажиточный или просто любитель вечерних посиделок, чьё прозвище закрепилось за его потомками.