Фамилия Базегская — одна из тех, что сразу выдают географическое происхождение. Её основа — топоним, название места, где жил, служил или владел землёй основатель рода. Формант «-ская» (женский род от «-ский») указывает на принадлежность к дворянскому роду, духовному сословию или просто на связь с конкретным населённым пунктом. В крестьянской среде такие фамилии встречались реже, чаще у выходцев из духовенства или у выслужившихся из низов.

Корень «Базег-» почти наверняка восходит к названию реки или села. Наиболее вероятный кандидат — река Базега в Пермском крае, левый приток Камы. В бассейне этой реки известны деревни с похожими названиями, например, Базеги. Оттуда и пошла фамилия: «Базегский» — тот, кто с Базеги. Такая модель образования типична для северных и уральских земель, где фамилии часто привязывали к рекам, урочищам и погостам.

Есть и вторая, менее очевидная версия. В некоторых говорах «базег» или «базега» могло означать «пустомеля», «болтун» — от глагола «базить» (говорить вздор, хвастать). Но эта гипотеза слабая: суффикс «-ск-» почти не использовался для образования фамилий от прозвищ. Он, как правило, работал с географическими названиями или с именами в польской традиции. Поэтому версия с рекой Базегой значительно правдоподобнее.

Написание фамилии через «е» в корне (а не через «и» или «я») устойчиво. Встречаются варианты «Базегская» и «Базегский» — в зависимости от пола носителя. В документах XIX века фамилия могла фиксироваться с окончанием «-ая» (Базегская) для женщин, но в современном употреблении это форма женского рода, а мужская — Базегский. Редкость фамилии говорит о том, что род был немногочисленным и локальным, скорее всего, из числа служилых людей или причта одной из церквей Прикамья.

Однокоренных фамилий немного. Можно вспомнить «Базегин» (от того же топонима, но с патронимическим суффиксом «-ин») или «Базегов» (с суффиксом «-ов»). Но «Базегская» стоит особняком: она сохранила не просто указание на место, а форму, напоминающую о дворянском или церковном статусе предков. Если у вас эта фамилия, то корни, скорее всего, ведут на север Пермской губернии, в окрестности современного города Березники или Усолья.