Фамилия Бажутина — женская форма от Бажутин, а та, в свою очередь, образована от прозвища или нецерковного имени Бажута. В основе, скорее всего, лежит древнерусский глагол «бажить» — желать, жаждать, стремиться. В говорах это слово имело и другой оттенок: «баловать, потакать». Соответственно, Бажутой могли назвать человека сильного желания — упрямого, настойчивого, или, наоборот, избалованного, своенравного.

Суффикс -ут(а) в русских прозвищах встречается нечасто, но он характерен для северных и сибирских говоров. Сравните: Вертута, Гулята, Косота. Такая модель образования придаёт имени оттенок ласкательности или, напротив, ироничной характеристики — в зависимости от контекста. Поэтому версия, что Бажута — это просто уменьшительное от канонического имени (например, от Бажен, что тоже значит «желанный»), тоже имеет право на существование, но менее вероятна: имя Бажен было самостоятельным, а Бажута — скорее его производная форма или отдельное прозвище.

Фамилия Бажутин(а) зафиксирована в основном на Русском Севере и в Приуралье — в Вологодской, Архангельской, Пермской губерниях. Это не случайно: северные территории дольше сохраняли архаичную лексику и модели имяобразования. Носители фамилии, скорее всего, происходили из крестьян или посадских людей — в дворянских родословных книгах эта фамилия не встречается.

Интересная деталь: в вятских говорах «бажута» могло означать не только человека, но и вещь — «желанный предмет, мечта». В этом случае прозвище могло закрепиться за тем, кто постоянно о чём-то мечтал или просил. Таким образом, фамилия Бажутина — не про происхождение от предка-ремесленника, а про его характер: настойчивого, требовательного или капризного.