Фамилия Бажутовы (в документах чаще встречается в форме Бажутов) образована от личного прозвища Бажут. Самая распространённая версия связывает его с диалектным словом «бажута» — так в некоторых русских говорах называли желанного, любимого ребёнка, чаще всего младшего или долгожданного сына. Прозвище Бажут, скорее всего, давали именно такому ребёнку — вымоленному, на которого надеялись и которого берегли.

Есть и другая гипотеза, менее вероятная, но с региональной привязкой. На Северном Кавказе (у черкесов Кабардино-Балкарии, Карачаево-Черкесии, в Осетии и на Ставрополье) известно слово «баже» — «лиса». Если прозвище возникло в этой среде, оно могло указывать на хитрость или сообразительность человека, но такое объяснение скорее экзотично и не подкреплено массовостью фамилии в тех краях.

Обратим внимание на суффикс. Фамилия Бажутов — типичная патронимическая модель на -ов, которая означает «чей?» — сын или потомок Бажута. Такие фамилии закрепились в центральных и северных регионах России, где был распространён именно этот суффикс. Время возникновения фамилии — не раньше XVI–XVII веков, когда прозвища начали массово переходить в наследственные фамилии у крестьян и посадских людей.

Фамилия нечастотная, встречается в основном в Поволжье и на Урале, что косвенно подтверждает её русское, а не кавказское происхождение — именно туда в XVII–XVIII веках переселялись крестьяне из центральных губерний. Сейчас носители фамилии Бажутовы живут в Пермском крае, Кировской и Нижегородской областях.

По словообразовательной модели фамилия проста и прозрачна: основа Бажут- + фамильный суффикс -ов. Ударение, скорее всего, падает на второй слог — Бажýтов, хотя в разных семьях могло закрепиться по-разному. Однокоренные фамилии — Бажутин, Бажуткин, Бажуков — встречаются реже и образованы от тех же корней, но с другими суффиксами.