Фамилия Бажутин образована от прозвища Бажут. Самая убедительная версия связывает его со словом «бажута» — так в некоторых русских говорах называли желанного, любимого ребёнка, чаще всего долгожданного сына. Прозвище давали младенцу, которого ждали с особой теплотой, и оно закреплялось за родом. Модель образования фамилии простая: к основе Бажут- добавили типичный русский суффикс принадлежности -ин, указывающий на «сына Бажута» или «человека из дома Бажута».

Есть и менее распространённая гипотеза, которая выводит прозвище из тюркских или кавказских языков. У некоторых народов Северного Кавказа (черкесы, карачаевцы, балкарцы) слово «баже» или близкие к нему формы означают «лиса». Если это так, то прозвище Бажут могло характеризовать взрослого человека — хитрого, проворного или сообразительного. Эта версия правдоподобна для южных регионов, где русские фамилии нередко вбирали в себя местную лексику, но для центральной России более вероятно славянское происхождение от «бажуты».

Сама фамилия встречается нечасто. Её география тяготеет к Поволжью и северным областям — там, где диалектное слово «бажута» было в ходу. В документах XVII–XVIII веков, например, в переписных книгах Важского уезда, встречаются крестьяне с прозвищем Бажутко, что подтверждает бытование основы именно в северорусской среде. Так что предки современных Бажутиных, скорее всего, были вольными или дворцовыми крестьянами Русского Севера, а прозвище родоначальника напоминало о том, что он был любимым и долгожданным ребёнком в семье.