Фамилия Бедая звучит на слух необычно, и главная её загадка — в окончании. В русской модели фамилий на -ая чаще всего стоят прилагательные (Белая, Толстая), но здесь основа не прилагательное, а существительное «беда». Чтобы объяснить такое сочетание, нужно смотреть на географию и этнический фон.

Скорее всего, фамилия Бедая имеет адыгское или абхазское происхождение. В адыгейском и кабардино-черкесском языке ударение часто падает на последний слог, и фамилии на -ая, -уа, -ия — обычное дело. Основа «бед» здесь может восходить к тюркскому или кавказскому корню, означающему «бедный, нуждающийся» (сравните с тюркским «бедный» — biçare, но это не прямой заимствование). Другая версия — от имени Бедан, которое встречается у народов Кавказа: фамилия могла образоваться через усечение суффикса и добавление типичного патронимического окончания -ая.

Если же рассматривать фамилию как русскую по форме, то она могла возникнуть в южнорусских говорах, где окончание -ая у фамилий на -ин иногда переходило в -ая (например, Борина → Борая). Но «Бедая» в этом ряду стоит особняком: нет фамилии Бедин, от которой она могла бы произойти. Поэтому версия с кавказскими корнями выглядит правдоподобнее.

Нельзя совсем отбросить и прозвищный след: в некоторых русских диалектах «бедая» могло означать «бедовая», то есть бойкая, неунывающая женщина. Однако такое прозвище редко закреплялось как наследственная фамилия, и примеров этому почти нет.

Носители фамилии Бедая сейчас встречаются в Адыгее, Краснодарском крае и Абхазии. Это подтверждает адыгскую версию: фамилия могла принадлежать роду, чей предок носил имя Беда или прозвище Беда (в значении «бедняк»), а окончание -ая указывает на принадлежность к определённому роду или местности. В адыгской ономастике такой способ словообразования — один из основных.

Таким образом, фамилию Бедая стоит считать не русской, а заимствованной из адыго-абхазской среды, где она означает «принадлежащий Беде» или «из рода Беда». Ударение, скорее всего, на последний слог.