Фамилия Бедай — редкая и неочевидная. Внешне она напоминает слово «беда», но на самом деле её корень лежит в калужском говоре, где глагол «бедать» означал «обедать». Прозвище Бедай, скорее всего, получил человек, который любил сытно и вкусно пообедать: либо отличался хорошим аппетитом, либо славился хлебосольством и сам не пропускал трапезу. Такие прозвища по привычкам и поведению — один из древнейших пластов русской антропонимии.

Словообразовательная модель проста: основа глагола «беда-» плюс суффикс -ай, типичный для прозвищ, образованных от действий (ср. Ломай, Стреляй, Гуляй). Фамилия закрепилась в форме чистого прозвища без патронимического суффикса (-ов, -ин) — это характерно для украинской и южнорусской традиции, где фамилии нередко оставляли в исходном виде. Встречается фамилия преимущественно на западе и юге России, а также в украинских говорах, где «бедати» тоже могло означать «обедать».

Версия о связи со словом «беда» (горе, несчастье) менее правдоподобна: в этом случае мы ожидали бы форму Бедин или Бедаков, а не Бедай. Кроме того, прозвища с негативным значением давали реже, и они обычно требовали дополнительного контекста (иронического или охранительного). Здесь же основание — бытовое, нейтральное.

Таким образом, предок носителя фамилии Бедай — человек, который получил прозвище за свою любовь к обеду. Никаких сведений о дворянском происхождении или массовом распространении фамилии нет — это редкая, локальная фамилия, сохранившая бытовую деталь из жизни русской деревни.