Фамилия Бедринов образована по самой распространённой в России модели — с помощью патронимического суффикса -ов. Она указывает на происхождение от личного имени или прозвища предка по мужской линии: Бедрина. Вопрос в том, что стояло за этим именем.

Наиболее вероятная версия связывает фамилию с разговорной формой крестильного имени Венедикт (от латинского benedictus — «благословенный»). В русском обиходе это имя давало множество производных: Веденей, Беденя, а затем и Бедря, Бедрина. Такая цепочка вполне типична для народной этимологии, где начальный слог «Ве-» мог отпадать или переосмысляться. В этом случае фамилия Бедринов — вариант более известных Беденягиных, Беднягиных или Бединых, и ничего общего с «бедностью» она не имеет.

Менее вероятна, но не исключена связь с прозвищем Бедра или Бедрина, которое могли дать человеку с характерной походкой, хромотой или особенностью телосложения (от слова «бедро»). В говорах «бедрый» иногда значило «толстобедрый», «широкий в кости». Такие прозвища по внешним признакам — обычное дело для русских фамилий, но в случае с Бедриновым эта версия уступает «календарной», поскольку имя Венедикт было широко распространено в крестьянской среде вплоть до XIX века.

Географически фамилия встречается разрозненно, без ярко выраженного гнезда. Её носители известны в центральных областях России, на Урале и в Сибири, что говорит о достаточно позднем закреплении фамилии — скорее всего, в XVIII–XIX веках, когда фамилии массово присваивались бывшим государственным крестьянам. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Если ваш предок носил фамилию Бедринов, с высокой долей вероятности его звали Венедиктом, и в быту он был Бедрей или Бедриной. Это не фамилия-прозвище, а фамилия по имени, данному при крещении.