Фамилия Бедрий звучит редко и неочевидно — в ней нет типичного русского суффикса, поэтому сразу понятно, что перед нами не стандартная «патронимическая» модель на -ов или -ин. Скорее всего, это фамилия украинского или белорусского происхождения, где притяжательный суффикс -ий (а точнее, -ій в украинской передаче) указывал на принадлежность: Бедрий — «сын Бедра» или «человек Бедря».

Но само прозвище Бедро (или Бедрий) могло возникнуть из разных источников. Анализируем словообразовательную модель. По одной из версий, в основе лежит глагол «бедрить» — «налегать боком, наваливаться на одно бедро». Такое прозвище могли дать человеку с характерной походкой, с заметной хромотой или привычкой опираться на одну ногу. В русских говорах слово «бедро» и его производные часто использовались для описания осанки или манеры держаться, так что прозвище могло быть чисто бытовым, без негативного оттенка.

Есть и вторая версия, более редкая. Она отталкивается от существительного «бедренец» — многолетнее травянистое растение, корень которого применяли в народной медицине. Если прозвище Бедрий образовалось от «бедренец» через усечение (как это часто бывало в живой речи), то перед нами профессиональное именование. Предок мог быть травником, знахарем или лекарем, который собирал и использовал это растение. В ономастике такие случаи известны: фамилии Травник, Зельев, Корень — все они указывают на связь с лекарскими практиками.

Какая версия правдоподобнее? Обе имеют право на существование, но первая — от глагола «бедрить» — проще и типичнее для прозвищ, описывающих внешность или повадку. Вторая требует дополнительного шага (переход от «бедренец» к «бедрий»), что встречается реже. Однако для украинских и белорусских говоров, где слово «бедренец» было в ходу, такой переход вполне возможен.

Географически фамилия Бедрий встречается в западных областях Украины, реже — в Беларуси и южных регионах России. В русских переписях и ревизских сказках она нечастотна, что подтверждает её локальный характер. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» эта фамилия не упоминается, что тоже говорит о её нетипичности для великорусской ономастики.

Итог: фамилия Бедрий — скорее всего, украинская или белорусская, образованная от прозвища. Прозвище либо описывало походку (от «бедрить»), либо указывало на занятие травника (от «бедренец»). Первая версия проще, вторая — интереснее по социальному контексту. Выбор между ними зависит от того, в какой местности жили ваши предки и чем они занимались.