Фамилия Бекарюковы — редкий пример, где основа, судя по всему, тюркская, а оформление — чисто русское, с суффиксом -ов. Это сразу указывает на то, что фамилия сложилась в русской среде, но её корень ведёт в степные языки, скорее всего, в тюркские наречия юга России или Поволжья.

Разбираем основу. В ней отчётливо слышится «Бекар» или «Бек-Ар». Первая часть, «бек» (или «бий»), в тюркских языках означает «господин», «князь», «начальник». Вторая часть, «ар», может восходить к слову «ар» — «человек», «мужчина», или к «ары» — «пчела» (тогда «бек-ары» — «князь пчёл», то есть пчеловод, но это менее вероятно). Самая правдоподобная версия: «Бекар» — это искажённое тюркское личное имя или прозвище, означающее «крепкий, могучий господин» или «господин-муж». В документах XVI–XVII веков встречаются похожие имена: Бекер, Бекяр.

Суффикс -ов указывает на типичную модель образования русских фамилий: «чей?» — «Бекарюков». То есть предок носителя фамилии — человек по прозвищу Бекарюк. Форма «Бекарюк» (с суффиксом -юк) характерна для южнорусских и украинских говоров: она даёт значение «маленький Бек» или «сын Бека». Это снижает пафос: не сам бек, а его потомок или слуга, получивший прозвище по хозяину.

Географически фамилия редкая. В дореволюционных источниках она почти не встречается, что говорит о её локальном бытовании, возможно, среди однодворцев или казачьих родов южных губерний (Курская, Воронежская, Область Войска Донского). Социальный контекст: носители фамилии, скорее всего, не были знатными татарскими мурзами, а происходили из служилых людей «по прибору» — казаков или стрельцов, которые перенимали тюркские прозвища у соседей. Фамилия не получила широкого распространения и осталась штучной.

Сравните с однокоренными: Бекаревич, Бекарский, Беккарь. Бекарюков — самая «русифицированная» форма, где тюркский корень спрятан за уменьшительным суффиксом и отчеством. Если ваш предок носил эту фамилию, он, вероятно, жил на южной границе России, в зоне смешения культур, и его прозвище звучало для окружающих как «сын того самого Бека», но уже без всякого княжеского смысла — просто фамильное имя.