Фамилия Беловоденко — один из тех случаев, когда в основе лежит не личное имя, а прозвище или географическое название, и разобраться в её происхождении можно через суффикс и корень. Суффикс -енко (патронимический, характерный для украинской традиции) указывает на то, что фамилию получил потомок человека по прозвищу Беловод: Беловод → Беловоденко, то есть «сын Беловода» или «человек из рода Беловодов».

Корень Беловод- отсылает к двум основным версиям. Первая: прозвище Беловод могли дать человеку, связанному с освоением «беловодья» — так в народе называли никем не заселённые, вольные земли, куда уходили крестьяне в поисках свободы от помещиков. В таком случае предок носителя фамилии мог быть первопроходцем или переселенцем на новые территории. Вторая версия — топонимическая: на Украине, в Сумской области, существует село Беловод, и житель этого села или выходец оттуда получал прозвище Беловод, а его дети — фамилию Беловоденко. Эта версия выглядит правдоподобнее, потому что фамилия с характерным украинским суффиксом -енко чаще всего привязывает человека к конкретному месту, а не к абстрактному понятию.

Менее вероятная гипотеза связывает прозвище с гидронимом Беловод — так называется озеро во Владимирской области. Но на этот вариант работает против география: фамилия Беловоденко распространена в украинских и южнорусских регионах, а не в центральной России, поэтому связь с владимирским озером маловероятна.

В итоге: скорее всего, ваш предок был либо жителем села Беловод на Сумщине, либо (реже) человеком, который осваивал вольные земли и получил прозвище за это занятие. Суффикс -енко однозначно говорит о том, что фамилия сформировалась в украинской среде, где такая модель образования фамилий была основной в XVI–XVIII веках.