Фамилия Бельтюгов чаще всего указывает на конкретное место: деревня Бельтюги в Куменском районе Кировской области. Выходца оттуда могли прозвать Бельтюговым — по названию родного селения. Такая модель, когда фамилия образуется от топонима с помощью суффикса -ов, типична для русского Севера и Вятки, где ойконимические фамилии встречаются особенно часто.

Однако есть и другая, не менее интересная версия. Слово «бельтюки» в некоторых русских говорах означало крупные, слегка раскосые глаза. Человека с такой внешностью могли прозвать Бельтюк, а его дети и внуки уже писались Бельтюговыми. Эта гипотеза опирается на живую диалектную лексику и объясняет фамилию через наглядную черту внешности — что в народной ономастике встречается сплошь и рядом.

Менее вероятна связь с прозвищем Бельдюга, восходящим к названию рыбы бельдюга, которая водится в северных морях. Если предок промышлял рыбной ловлей, его могли так окрестить, но здесь есть фонетическое препятствие: переход «д» в «т» в корне нехарактерен для русских говоров Вятки. Скорее всего, это случайное созвучие, а не реальный источник фамилии.

Таким образом, наиболее правдоподобных версий две: географическая (деревня Бельтюги) и антропонимическая (прозвище по глазам). Обе укладываются в типичные модели образования русских фамилий, и какая из них верна для вашей конкретной ветви, можно попробовать выяснить по архивным записям — метрическим книгам или ревизским сказкам Куменского района.