Фамилия Бердашев образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей — от прозвища или имени через суффикс -ев. Основа здесь — «Бердаш», и это слово в русских говорах имело несколько значений, что открывает простор для версий.

Самая прямая и правдоподобная версия — прозвище от слова «берда» (или «бердо»). Бердо — это деталь ткацкого станка, гребень для прибивания нити. Прозвище Бердаш могли дать ткачу или человеку, связанному с ткацким ремеслом. В пользу этой версии говорит и то, что фамилия встречается в регионах с развитым ткачеством, например, в Вологодской и Архангельской губерниях. Если ваш предок был мастеровым, Бердаш — это профессиональное прозвище, которое закрепилось за родом.

Вторая версия — от тюркского имени или прозвища. В тюркских языках есть корень «берд» (дал, данный), и слово «бердаш» могло означать «данный богом» или «даритель». Такие имена были распространены у татар и башкир, поэтому фамилия Бердашев может иметь тюркские корни, особенно если семья происходит из Поволжья или Приуралья. В этом случае её стоит рассматривать в одном ряду с фамилиями Бердиев, Бердыев.

Менее вероятна, но упоминается в некоторых словарях версия, связывающая прозвище с диалектным словом «берда» (труба, отверстие) или «бердаш» (вертлявый, беспокойный человек). Но эти значения узко локальны и уступают двум первым по распространённости.

Суффикс -ев указывает на принадлежность: «чей?» — Бердашев, то есть сын, потомок Бердаша. Фамилия не дворянская и не княжеская, а типично крестьянская или мещанская. В переписях XIX века Бердашевы фиксировались в основном в северных и центральных губерниях России, а также среди оренбургских казаков, что хорошо согласуется с обеими версиями — и ремесленной, и тюркской.

Таким образом, скорее всего, ваш предок был либо ткачом, либо носителем тюркского имени, которое потом переделали на русский лад. В любом случае, фамилия отражает конкретное занятие или происхождение, а не случайное прозвище.