Фамилия Беренштам — один из тех случаев, когда географический и лингвистический анализ даёт почти однозначный ответ, и этот ответ — ашкеназский. Перед нами составная фамилия немецко-еврейского происхождения, типичная для евреев, живших на землях Германской империи, Австро-Венгрии и later — Российской империи в черте оседлости.

Разбираем по частям. Первая основа — «Берен» (Bären) — это родительный падеж множественного числа от немецкого «der Bär» (медведь). Вторая — «штам» (Stamm) — переводится как «ствол», «племя», «род». В буквальном смысле фамилия означает «медвежий род» или «род медведей». Такие «тотемные» или зооморфные фамилии с элементом -stamm встречаются у ашкеназов: например, Адлерштам (орлиный род), Вольфштам (волчий род). Они не были прозвищами в бытовом смысле — их давали как «украшающие» фамилии, часто по указу австрийских или прусских властей в конце XVIII — начале XIX века, когда евреям предписали взять наследственные фамилии.

В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, которые указывают на отца или владельца, модель Беренштам — чисто немецкая, композитная. Фамилия не могла возникнуть в славянской среде: в русском языке нет суффикса -штам, а корень «берен» не является ни русским, ни украинским, ни польским.

Географически фамилия была распространена в Галиции (нынешняя Западная Украина и юг Польши), а также в германских землях, откуда носители мигрировали на восток. В Российской империи Беренштамы фиксируются в Киевской, Подольской и Волынской губерниях — типичный ареал для еврейских фамилий немецкого корня. Важно: фамилия не является ни дворянской, ни крестьянской в русском понимании — это городская, местечковая фамилия, принадлежавшая в основном торговцам, ремесленникам и управляющим.

Встречается вариант написания Беренштамм (с двумя «м»), но он редок и, скорее всего, является более поздней русификацией или опиской в метриках. Основная форма — с одной «м», что соответствует немецкому Stamm. Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка был ашкеназским евреем, жившим в черте оседлости, а сама фамилия — искусственное «красивое» имя, данное при административной реформе. Никакой связи с древнерусскими берендеями или тюркскими кочевниками здесь нет — это чисто германская лексика, принесённая в Восточную Европу через еврейскую миграцию.