Фамилия Бергаут — редкий пример, где германская основа сохранилась почти без изменений, а вот географический путь в Россию был не прямым. В отличие от множества немецких фамилий, попавших в империю через прибалтийских немцев или колонистов Поволжья, Бергаут с высокой вероятностью пришла из среды евреев-ашкеназов. Дело в том, что окончание -ут (-ut) в немецких фамилиях почти не встречается, а вот в идише, где многие фамилии строятся по модели «немецкое слово + уменьшительный или прозвищный суффикс», это обычное явление. Сравните: Беркович, Гильдут, Либерут.

Основа фамилии — Berg (гора) и Haut (кожа, шкура). Буквально «горная кожа» — звучит странно, пока не вспомнишь, что в немецких диалектах и идише слово Haut могло означать не только кожу человека, но и шкуру животного, а также, в переносном смысле, «оболочку» или «поверхность». Скорее всего, прозвище Berg-Haut дали человеку, жившему у скалистого обнажения, похожего на «шкуру горы», или тому, кто занимался выделкой кож в горной местности. Вторая версия — искажение от Berghaut, что в некоторых диалектах означало «горный утес» (ср. немецкое Hag — ограда, кустарник, но здесь скорее всего контаминация с Haut).

Словообразовательная модель проста: сложение двух корней без суффикса. Фамилия не получила русских окончаний -ов, -ин или -ский, а осталась в исходной форме, что типично для поздних переселенцев или для тех, кто получил фамилию уже в черте оседлости на западе империи. Встречается она преимущественно в документах конца XIX — начала XX века, связанных с еврейским населением Волыни, Подолья и Бессарабии, а также среди эмигрантов первой волны в США и Аргентине. Сословно носители были мещанами и ремесленниками — никаких дворянских корней у этой фамилии нет.

Спорный момент: некоторые любители германской ономастики пытаются возвести Бергаут к верхненемецкому berghut — «горная шляпа» (вид головного убора горняков), но это натяжка: слово Hut (шляпа) и Haut (кожа) в немецком звучат и пишутся по-разному, и смешение маловероятно. Так что версия с кожевником или скалистой местностью остаётся основной. Если ваш предок носил фамилию Бергаут, он почти наверняка происходил из местечка на западе Украины или в Молдавии, а его ремесло было связано с обработкой кожи или торговлей ею.