Фамилия Беркольцева — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все остальные версии происхождения. Основа фамилии — топоним Беркольце, а окончание -ва указывает на женскую форму. Мужской вариант, соответственно, Беркольцев. Такие фамилии обычно получали переселенцы, которые покинули деревню или хутор с названием Беркольце и осели в другом месте, где их и прозвали по прежнему месту жительства.

Где искать это Беркольце? Наиболее вероятный кандидат — село Берколье (или Беркольце) на территории современной Беларуси или западной России. В исторических документах встречается, например, местечко Берколье в бывшем Речицком уезде Минской губернии. Название, скорее всего, балтийского или смешанного происхождения: корень «берк» может восходить к литовскому «beržas» (берёза) или древнепрусскому «birca» (берёза). В таком случае Берколье — это «берёзовое место», «берёзовая роща» или «селение у берёз». Суффикс -ц- в форме Беркольце — типичный уменьшительный или посессивный для восточнославянских говоров, указывающий на принадлежность к этому месту.

Модель образования через топоним — не самая частая для русских фамилий, но хорошо известная: ср. Ростовцев, Тверитинов, Муромцев. Человек, приехавший из Беркольца, получал прозвище Беркольцев, а его дети уже носили это как фамилию. Поскольку фамилия не дворянская и не княжеская (на -ский), а патронимическая по месту, её носители в массе своей были крестьянами или мещанами.

В написании фамилии обращает на себя внимание окончание -цева, а не -цова. Это говорит о том, что в основе лежит форма именительного падежа (Беркольце), а не родительного (Беркольца). Такая деталь характерна для говоров, где топоним склонялся по-особому или где прозвище закрепилось именно в этой, «начальной» форме.

Другие версии — от прозвища Берколь (например, от диалектного «берколь» — нечто вроде «крикун» или «задира») или от тюркского «беркут» (орёл) — маловероятны. Во-первых, суффикс -цев плохо сочетается с прозвищем на согласный (было бы Беркутов или Берколёв). Во-вторых, для фамилий на -цев почти всегда нужна основа на -о/-е (село Беркольце). Поэтому версия с топонимом — основная и самая логичная.

Фамилия очень редкая, её носители в основном сосредоточены в центральных и южных областях России, что косвенно подтверждает миграцию с запада. Если вы Беркольцева, ваши предки почти наверняка были выходцами из одного конкретного села, название которого — Беркольце — и стало вашей фамилией. Больше здесь нечего добавить: ни громких исторических личностей, ни сложной сословной истории — просто точный топонимический след.