Фамилия Бермякова — женская форма от Бермяков, и её разумнее рассматривать в мужском варианте, чтобы понять корень. Перед нами типичная «географическая» фамилия, образованная от названия населённого пункта. Основа — Бермяк или Бермяки. Такие топонимы встречаются в Пермском крае и на Урале: есть, например, деревня Бермяки в Кунгурском районе, а также несколько сел с похожими названиями. Суффикс -ов указывает на принадлежность: Бермяков — «сын человека из Бермяков» или «выходец из Бермяков».

Само слово «Бермяк» — скорее всего, прозвище или этноним. Оно может быть связано с «пермяк» (житель Перми Великой) через диалектное изменение: в северных говорах «пермяк» нередко произносили как «бермяк», с заменой начального «п» на «б». Такая фонетическая черта встречается в некоторых русских говорах, особенно в Прикамье. Таким образом, Бермяков — это, вероятно, «пермяк», то есть уроженец Пермской земли. Менее вероятная, но возможная версия — от личного имени Бермя (уменьшительное от Бернард или от славянского «бер» — медведь), но она слабее, так как имя Бермя не зафиксировано в святцах и редкое для русской традиции.

География фамилии подтверждает уральско-пермское происхождение. Основные очаги Бермяковых — Пермский край, Свердловская область, Удмуртия. В документах XVII–XVIII веков, когда шло освоение Урала и Сибири, фамилия встречается среди крестьян и посадских людей. Предки Бермяковых, скорее всего, были государственными или заводскими крестьянами, переселенцами из центральных областей, которых закрепили за уральскими заводами. Никакого дворянского сословия или известных исторических личностей с этой фамилией не зафиксировано — это фамилия простонародная, трудовая.

Интересная деталь: написание через «е» (Бермяков) не единственное. В старых переписях встречается вариант «Бирмяков» (с «и»), что отражает акающее произношение. Но в современном русском языке закрепилась форма с «е» — возможно, под влиянием книжного произношения или из-за связи с топонимом Бермяки. Если вы носитель фамилии Бермякова, ваши корни почти наверняка уходят в прикамские земли, где предки могли быть и пермяками, и русскими переселенцами, но фамилия однозначно указывает на место, а не на занятие.