Фамилия Бесчетвертная — редкий случай, когда прозвище перешло в фамилию почти без изменений, сохранив грамматическую форму женского рода. В русской ономастике фамилии на -ая, -яя (типа Бесчетвертная) характерны для южных и западных регионов, особенно для украинского и белорусского пограничья, а также для донского казачества. Скорее всего, предок получил это прозвище, а затем и фамилию, именно в такой среде, где женская форма прозвища не переделывалась в мужскую через суффикс -ов или -ин.

Словообразовательная модель проста: отрицательная частица «без» (в народном произношении часто «бес») + существительное «четверть» + суффикс -н- + окончание -ая. В основе лежит слово «четверть» — старая русская мера объёма сыпучих тел (около 210 литров) или мера земельной площади (примерно 0,5 гектара). Прозвище «Бесчетвертный» (или «Бесчетвертная») могли дать человеку, у которого не хватало этой самой четверти — либо земли, либо зерна для оброка или подати. Крестьянин, владевший участком меньше нормативной «четверти», или тот, кто не мог выплатить долг в размере четверти хлеба, легко получал такое прозвище в документах переписи.

Вторая версия менее вероятна, но встречается в говорах: «бесчетвертной» — человек, который не признаёт церковных четвертей (постов), то есть не соблюдает пост в четверг. Однако эта гипотеза не находит надёжного подтверждения в словарях русских прозвищ. Основной смысл остаётся хозяйственно-бытовым: фамилия указывает на неполную земельную или хлебную меру, а значит, предок был из крестьянской среды, возможно, малоземельной или задолжавшей.

Фамилия почти не встречается за пределами южнорусских областей и востока Украины. В современных справочниках и телефонных базах — единичные носители, что делает её ценной для локальной генеалогии. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите их в документах Воронежской, Курской, Харьковской губерний или среди казачьих списков. Суффикс -н- и окончание -ая указывают на то, что фамилия сложилась как прилагательное, а не как типичное отчество, и это дополнительный ключ к географии поиска.