Фамилия Бешич — редкий для России случай, когда мы имеем дело не с исконно русской моделью, а с фамилией, принесённой миграцией. Её облик сразу выдает южнославянское происхождение, скорее всего, сербское, черногорское или боснийское. Ключевой элемент здесь — суффикс -ич, который в сербохорватской традиции является основным патронимическим показателем (аналог русского -ов/-ев или -ин). Он образует фамилии от личных имён, прозвищ или профессиональных названий, буквально означая «сын такого-то».

Основа Беш- — сокращённая или производная форма. В славянском именослове известны личные имена Беша, Бешко, Бежко, которые могли быть гипокористиками (уменьшительно-ласкательными формами) от таких имён, как Бенедикт, Берислав или Беломир. Однако есть и другая, более прозрачная версия: основа может восходить к слову «бес» или, в диалектах, к глаголу «бесити» (серб. «злиться», «беситься»). В таком случае прозвище Беша давали человеку с крутым, вспыльчивым нравом. Фамилия Бешич, соответственно, означает «потомок Беши» или «сын Беши».

В России фамилия Бешич встречается крайне редко и сосредоточена преимущественно в крупных городах, куда в XX веке приезжали выходцы из Югославии — специалисты, студенты, а также потомки эмигрантов. Второй, ещё более редкий вариант происхождения — от тюркского слова «беш» (пять). В таком случае Бешич могло быть прозвищем, данным в Османской империи, например, по должности (командир пятёрки) или по какому-то другому числовому признаку. Но эта версия менее правдоподобна: суффикс -ич в тюркских языках нехарактерен, так что здесь, скорее всего, славянская основа.

Таким образом, носитель фамилии Бешич почти наверняка имеет южнославянские корни, а его предок носил прозвище или краткое имя Беша, которое могло указывать либо на его характер, либо на личное имя, популярное в средневековой Сербии или Боснии.