Фамилия Бешко — один из тех случаев, когда короткая основа таит в себе несколько разных путей происхождения. Чтобы понять, кто мог быть вашим предком, нужно разобраться с двумя вещами: к какому языку восходит корень и какой суффикс его оформил.

Самое очевидное — это украинское или белорусское происхождение. Суффикс -ко типичен для этих земель: он уменьшительный, ласкательный, а часто и просто фамильный. В таком случае основа Беш- может быть усеченной формой от имени Беша — народного варианта крестильного имени Бессон (от греческого «бессмертный») или, что вероятнее, от Бенедикт (ср. укр. Бень, Бешко). Прозвище Бешко могли дать и человеку с каким-то особенным, «бешеным» нравом — от слова «бес» или «бешеный», но в украинском языке это звучало бы скорее как Біс или Шалений, поэтому версия с личным именем надёжнее.

Вторая версия — польская или западнославянская. В польском языке слово bies означает «бес», а biesek — «бесёнок». Фамилия Beszko (читается как «Бэшко») могла быть прозвищем озорного, непоседливого человека или, наоборот, оберегом: называли «чертёнком», чтобы злые духи не тронули настоящего ребёнка. Такая практика была распространена у славян. В этом случае суффикс -к- тоже уменьшительный, но фамилия образована напрямую от нарицательного слова, а не от имени.

Есть и третий, более редкий путь — южнославянский. В сербском, хорватском и словенском языках beško (или bješko) могло быть прозвищем от глагола bešati (убегать, скрываться) или от bježati (бежать). Тогда Бешко — это «беглец», «тот, кто спасается». Эта версия менее вероятна для русской фамилии, но её стоит учитывать, если семейные предания связывают род с Балканами.

Географически фамилия Бешко чаще всего встречается на западе Украины (Львовская, Тернопольская области), в Беларуси и в юго-западных областях России (Брянская, Курская). В дореволюционных списках она фиксируется как казацкая или мещанская фамилия — то есть предки не были крепостными, а относились к вольным сословиям или жили в городах.

Итог простой: скорее всего, ваш предок носил уменьшительное имя Бешко (от Бенедикта или Бессона) и жил на западнорусских землях. Если же в роду передаётся история про «бешеного» или «озорного» пращура — можно смело вспоминать польское biesek. Обе версии укладываются в словообразовательную модель и не противоречат друг другу.