Фамилия Безунков образована по распространённой у восточных, западных и южных славян модели: от личного прозвища или имени (христианского или языческого) с помощью суффикса принадлежности. Разберём, что стоит за основой «Безунк» и как она могла появиться.

Прозвище Безунко (или Безунок) могло относиться к человеку с заметной чертой — резвого, непоседливого, того, кто «бегает» или «без ума» от чего-то. Вторая версия, более конкретная: основа связана с диалектным словом «безун» — так в некоторых говорах называли беспокойного, шаловливого ребёнка или взрослого, склонного к суете. Не исключено, что прозвище давали и в ироничном ключе — человеку, который «без ума» от какого-либо занятия или просто чудаковат.

Суффикс «-к-» в основе «Безунко» указывает на уменьшительно-пренебрежительную или просто обиходную форму имени или прозвища (сравните: Иван — Иванко, бегун — бегунок). Затем к этой форме добавился типичный русский фамильный суффикс «-ов», который означает «сын» или «потомок»: Безунков — сын Безунка. Так фамилия закрепилась в северных и центральных областях России, где такие патронимические модели особенно распространены.

Возможен и редкий вариант происхождения — от имени-оберега. В древности родители могли назвать ребёнка «Безун» (то есть лишённый ума) в надежде, что злые духи не позарятся на такого «неполноценного» младенца и не навредят ему. Со временем охранительное имя превратилось в прозвище, а затем в фамилию.

Однокоренные фамилии — Бегунов, Безумов, Безуглов — встречаются чаще, но Безунков выделяется именно редким суффиксом основы. Если Бегунов прямо указывает на бегуна или скорохода, то Безунков несёт оттенок не столько действия, сколько свойства характера. Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским говорам, где форма на «-ун» и уменьшительное «-ко» особенно употребительны.

Точных данных о сословной принадлежности первых носителей нет, но судя по модели, Безунковы — скорее всего, потомки крестьян или посадских людей, получивших фамилию по уличному прозвищу предка. В документах XVIII–XIX веков подобные фамилии фиксировались в основном среди государственных крестьян и однодворцев южных губерний.