Фамилия Безеньков — одна из тех, где разбор упирается в неочевидную основу, и тут без словарей не обойтись. Скорее всего, в её основе лежит не имя и не профессия, а прозвище, и связана она с диалектным словом «безень» или «безина». В северных и центральных говорах «безина» — это бред, чепуха, вздор, а «безеня» — болтун, пустомеля, человек, который говорит не по делу. Тогда Безеньков — потомок того, кого прозвали Безенем за привычку молоть языком или рассказывать небылицы. Суффикс -ов типичен для русских фамилий, образованных от прозвищ на -а/-я: он указывает на принадлежность («чей?» — Безенев сын, со временем ставший Безеньковым).

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с тюркским словом «безен» (украшение, орнамент) или с каким-то местным географическим названием. Однако для центральной России, где фамилия встречается чаще всего (по данным переписей — в основном в Тверской и соседних областях), именно диалектная «болтовня» выглядит естественным объяснением. Тюркская версия потребовала бы долгой миграции носителей, а документальных подтверждений этому нет.

Обратите внимание на написание: фамилия пишется через «е» в первом слоге (Безеньков), а не через «и» (Бизеньков). Это важно, потому что при переписи или в документах XIX века могли ошибиться, и тогда корень искажается. Если в вашем семейном архиве встречается вариант «Бизеньков», это может быть просто искажением грамотного писаря, а не другая фамилия.

В социальном плане фамилия недворянская — суффикс -ов и прозвищная основа выдают крестьянское или мещанское происхождение. Носители фамилии, скорее всего, были государственными или помещичьими крестьянами в тверских или новгородских землях, где слово «безеня» было в ходу. Прямых упоминаний в боярских списках или родословных книгах нет, что тоже говорит о непривилегированном сословии.

Коротко: Безеньков — фамилия от прозвища Безеня (болтун, пустослов), бытовавшая в северо-западных русских говорах. Редкая, но не уникальная — встречается в Тверской, Псковской и Ленинградской областях. Если хотите проверить свою ветвь, ищите в метрических книгах этих губерний за XVIII–XIX века: фамилия могла записываться как Безенев, Безенков или Безеньков.