Фамилия Бибанина — редкий случай, когда фамилия, звучащая как типичная русская матронимическая (от женского имени), почти наверняка имеет другую природу. На это указывает ударение: в матронимах на -инин (вроде Марьинин, Татьянин) оно обычно падает на основу, а здесь — на последний слог, Бибанина́. Такое ударение — верный признак того, что перед нами не притяжательное прилагательное, а форма родительного падежа от фамилии мужского рода Бибанин.

Значит, носительница этой фамилии — женщина, а её отец (или муж) носил фамилию Бибанин. Разбираем мужскую основу. Фамилия Бибанин образована с помощью самого распространённого русского суффикса -ин, который присоединяли к основам, оканчивающимся на -а или -я. Основа здесь — прозвище Бибана.

Что такое «бибана»? Это слово не встречается в литературном русском языке, но хорошо известно в южнорусских и украинских говорах. «Бибати» — значит качать, колебать, а «биба» или «бибана» — нечто болтающееся, неуклюжее. В рязанских, тамбовских, воронежских говорах «бибаной» могли назвать нерасторопного, медлительного человека, увальня. Есть и другая, более грубая версия: в некоторых диалектах «биба» — это просторечное название женского полового органа, и прозвище могло быть дано по какой-то внешней особенности или поведению. Такие прозвища в крестьянской среде давали без злого умысла, просто как меткую бытовую характеристику.

Таким образом, цепочка выглядит так: прозвище Бибана (медлительный человек или, реже, по иной физической черте) → фамилия сына или внука Бибанин (чей? — Бибанин) → фамилия дочери или жены Бибанина (чьей? — Бибаниной, то есть принадлежащей роду Бибаниных). Географически фамилия тяготеет к чернозёмным областям России — Воронежской, Липецкой, Тамбовской, а также к востоку Украины. Встречается она крайне редко, что неудивительно: прозвище не из благозвучных, и многие носители могли при первой возможности сменить фамилию на более нейтральную.