Фамилия Бикешова — женская форма фамилии Бикешов, а та, в свою очередь, образована от мужского имени или прозвища Бикеш. Самая вероятная основа — тюркское имя Бикеш, которое встречается у татар, башкир, казахов и других народов. В тюркских языках «бике» означает «госпожа», «княгиня» или «девушка» (ср. татарское «бикә» — невеста, молодая женщина). Уменьшительно-ласкательный суффикс -ш (как в именах Алтынбике → Алтынбикеш) превращает слово в личное имя. Таким образом, Бикеш — это «маленькая госпожа» или «девчурка», ласковое прозвище для девочки или молодой женщины.

Словообразовательная модель здесь простая: к основе Бикеш добавили русский патронимический суффикс -ов, который закрепился в среде крещёных татар и других тюркских народов, перешедших на русскую фамильную систему. Суффикс -ов указывает на принадлежность: «сын (или дочь) Бикеша». В русском языке фамилии на -ов типичны для большинства населения, но в данном случае основа явно не славянская, что сразу выдаёт тюркские корни рода.

Географически фамилия Бикешова встречается в регионах традиционного расселения татар и башкир: Татарстан, Башкортостан, Оренбургская, Челябинская области. Встречается она и у казахов, но у них фамилия обычно оформляется без русского суффикса (просто Бикеш) или с казахским окончанием -ов/-ова из-за русификации. В русских переписях XIX века такая фамилия могла фиксироваться у государственных крестьян или мещан из восточных губерний.

Спорных версий немного. Иногда Бикеш связывают с арабским «бикр» (девственница), но это натяжка: корень «бике» в тюркских языках устойчив и самостоятелен, а арабское влияние на бытовые имена у татар было слабее, чем на религиозные. Также не стоит путать фамилию с чеченской Бикешев (от «бика» — женщина) — это параллельная форма, но не родственная.

Если ваши предки носили фамилию Бикешова, скорее всего, они происходят из тюркоязычной среды, где имя Бикеш давали девочке как ласковое прозвище, а позже оно закрепилось за родом. Фамилия не дворянская и не купеческая — обычная крестьянская или мещанская, каких тысячи у народов Поволжья и Урала.