Фамилия Бишай — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет типичных русских фамильных суффиксов вроде -ов или -ин, что сразу указывает на то, что перед нами не исконно русская фамилия в привычном понимании, а скорее всего, адаптированное на русской почве иноязычное имя или прозвище. Разбирать её по модели «основа + суффикс» бесполезно: окончание -ай характерно для тюркских языков, где оно может быть частью корня или уменьшительным аффиксом.

Самая вероятная версия — тюркское происхождение. В татарском, башкирском, казахском языках есть основа «биш» (пять) или «бишай» (пятый). Прозвища, образованные от числительных, давали по разным причинам: пятому ребёнку в семье, родившемуся в пятницу (пятый день недели) или по какой-то другой примете, связанной с пятёркой. Вполне могло существовать личное имя Бишай, которое без изменений перешло в фамилию. Такая модель — переход прозвища или имени в фамилию без добавления суффикса — встречается у народов Поволжья, Приуралья и Северного Кавказа.

Менее вероятна, но не исключена связь с арабским корнем «бишр» (радость, ликование). В этом случае Бишай могло быть искажённым вариантом имени Бишр, которое при заимствовании через тюркское посредничество могло изменить звучание. Однако для арабского окончание -ай нетипично, поэтому тюркская гипотеза убедительнее.

С географией фамилии сложно: Бишай — редкая фамилия, она не зафиксирована в массовых списках дворянских или купеческих родов. Встречается единично в Татарстане, Башкортостане, на Урале и среди татарской диаспоры. Если предки носили эту фамилию, то, скорее всего, они были крестьянами или ремесленниками, а фамилию записали по прозвищу, которое дали ещё в XVII–XIX веках. Никакого сословного статуса она не отражает, искать знаменитых однофамильцев в истории бесполезно.

Таким образом, фамилия Бишай — это тюркское прозвище, ставшее фамилией без изменений, и её носители, вероятно, происходят из народов Поволжья или Приуралья.