Фамилия Биян — редкий случай, когда версий происхождения несколько, и ни одна не выглядит натянутой. Самая вероятная: основа фамилии — тюркское или монгольское личное имя Биян, которое восходит к слову «бий» — «князь, правитель, господин». В таком случае фамилия означает «княжеский», «принадлежащий правителю» или была дана как прозвище человеку с властным, гордым нравом. В башкирском и татарском именнике действительно встречается имя Биян, а у калмыков — Биян (от «бяян» — богатый). Фамилия могла закрепиться у русских, если предка так прозвали за внешность или характер, либо если он был крещёным татарином или башкиром.

Менее распространённая, но возможная версия — связь с гидронимом Бия (река на Алтае). Древнетюркское «бий» — «река, водный поток». Тогда фамилия Биян — это указание на человека, жившего на берегу Бии, то есть «бийский», «житель с Бии». Однако для русской ономастики такая модель образования от названия реки без суффикса -ский (Бийский) нехарактерна, поэтому эта гипотеза слабее.

Обратите внимание на окончание: фамилия Биян — это чистая основа без патронимического суффикса (-ов, -ин). Такие фамилии в русской среде — редкость. Обычно они либо иноязычные по происхождению (например, у тюркских народов), либо возникли в результате поздней русификации, когда суффикс отпал. Географически фамилия встречается в Татарстане, Башкортостане, а также среди сибирских татар, что подтверждает тюркский след.

Социальный контекст: носители фамилии Биян, скорее всего, не принадлежали к дворянству. Это крестьянская или мещанская фамилия, закрепившаяся в приходских книгах. В дореволюционных записях её могли писать как Биянов (с наращением -ов), а позже, при унификации, вернули исходную форму. Если ваш предок носил фамилию Биян, ищите корни в Поволжье или на Урале — там она встречается чаще всего.