Фамилия Бобейко — украинская по модели образования (суффикс -ейко), и её происхождение неоднозначно. У вас есть две основные версии, и обе имеют право на существование.

Первая версия связывает фамилию с прозвищем Бобей, которое восходит к слову «боб» — зерно стручковых растений. Прозвище могли дать человеку невысокого роста, щуплому или, напротив, тому, кто торговал бобами. Однокоренные фамилии и прозвища встречаются в «Ономастиконе» С.Б. Веселовского: князь Иван Борисович Бобок Туренин (первая половина XVI века), Василий Гаврилович Бобков, межевщик (1562 год, Стародуб-Ряполовский), Степан Иванович Бобков (1530 год). Эта версия выглядит прямолинейной, но вполне правдоподобной.

Вторая версия — фонетическая. В украинском языке звуки [а] и [о] в безударной позиции нередко смешиваются. Поэтому Бобейко могло возникнуть как вариант фамилии Бабейко. В таком случае основа — прозвище Бабей. Так в XVI веке называли воспитанника бабушки, её любимца, или же, напротив, любителя ухаживать за женщинами. В «Ономастиконе» зафиксирован крестьянин Бабей Иван (1585 год, Владимир). Со временем прозвище вытеснило крестильное имя и закрепилось в документах.

Обе гипотезы указывают на прозвищное происхождение фамилии. Выбрать одну сложно, но можно предположить, что в разных регионах фамилия возникала независимо — от разных корней. Суффикс -ейко типичен для украинских фамилий, образованных от прозвищ, и указывает на потомка человека с таким прозвищем.