Фамилия Бодаговская — женская форма от Бодаговский, а та, в свою очередь, образована по типичной для польской и украинской шляхты модели: основа + суффикс -овск-/-евск-. В русской традиции такие фамилии часто закреплялись за потомками выходцев из Речи Посполитой, перешедшими на службу к московским государям, либо за духовенством, которому семинарии нередко давали «благородные» фамилии на -ский.

Корень здесь — Бодаг-. Самое прямое объяснение: от названия населённого пункта вроде Бодаги, Бодагово или Бодагов. Такие топонимы реально встречаются, хоть и редки. Например, в исторических документах упоминается урочище Бодаги на территории современной Беларуси или Польши. Тогда Бодаговский — это «тот, кто из Бодагова», типичная географическая фамилия.

Есть и другая версия, менее очевидная, но лингвистически допустимая: от прозвища Бодага. В некоторых говорах «бодага» — растение (борщевик или дудник), либо, по аналогии с глаголом «бодать», — человек с тяжёлым, «бодучим» характером. Однако для фамилии на -ский такая бытовая основа менее характерна: прозвища обычно давали фамилии на -ов/-ин, а -ский тяготеет к названиям мест.

Спор между географией и прозвищем решается в пользу первого варианта. Фамилия Бодаговский/Бодаговская — это «дворянский» или «семинарский» формант, который в крестьянской среде почти не встречался. Если предки носили эту фамилию, велика вероятность, что они либо владели землёй в окрестностях деревни Бодаги, либо получили её при поступлении в духовное училище — семинаристы часто переделывали свои простые фамилии в более звучные, прибавляя -ский к названию родного села.

В написании фамилии нет спорных моментов: ударение, скорее всего, падает на второй слог — Бодаго́вская. Встречаемость фамилии крайне низкая, что подтверждает её локальное происхождение. Носители сегодня рассеяны по России, Украине и Беларуси, но массовой миграции не было.