Фамилия Богасько звучит как украинская, и это первая нить, за которую стоит потянуть. Модель образования здесь — суффикс -ко, один из самых распространённых в украинской ономастике. В польской и белорусской традиции этот суффикс тоже встречается, но для фамилий на -сько украинское происхождение наиболее характерно. Суффикс -ко в прошлом часто имел уменьшительное или «сыновнее» значение: Богасько — это буквально «маленький Богась» или «сын Богася». Основа фамилии, скорее всего, восходит к имени Богась — народной, разговорной форме от церковного имени Богдан. Имя Богдан означает «данный Богом», и в украинской среде оно было очень популярно, породив множество производных форм: Богдась, Богдаш, Богась. Таким образом, Богасько — это «внук» или «потомок» человека по имени Богдан.

Менее вероятная, но допустимая версия связывает фамилию не с именем, а с прозвищем. В украинских говорах слово «богатий» — богатый. Суффикс -сько мог прикрепиться к основе «богат-» с некоторым фонетическим смягчением: Богатсько → Богацько → Богасько. В таком случае прозвище Богасько могли дать либо зажиточному крестьянину, либо, напротив, иронично — бедняку. Однако первая версия, через имя Богдан, выглядит более естественной для фамилий с суффиксом -ко, которые в массе своей образовывались именно от личных имён, а не от качественных прилагательных.

Географически фамилия Богасько тяготеет к западным и центральным областям Украины, особенно к регионам, где были сильны польские влияния в словообразовании (суффикс -ко в украинском языке зачастую соседствует с польским -ек). Встречается она и в южных областях России, куда переселялись украинцы в XVIII–XIX веках. Сословно носители фамилии почти наверняка относились к крестьянству или казачеству: фамилии на -ко в массе своей — наследие простого люда, у шляхты такие окончания встречаются редко.

Если говорить о написании, то оно устойчиво: Богасько, а не Богаско. Мягкий знак в середине указывает на то, что предшествующий согласный произносился мягко, что характерно для украинской фонетики. В русских документах фамилию могли записывать как Богасько или, реже, Богаськов, если склоняли по мужскому роду, но исходная форма сохранилась именно без дополнительного суффикса -ов.