Фамилия Богайсков — редкая, и в ней сразу бросается в глаза необычный суффикс. Если бы фамилия звучала как Богайский, вопросов бы не было: типичная польская или украинская фамилия от названия местности (например, Богайки). Но суффикс -ов превращает её в русскую по форме, хотя корень остаётся «нерусским». Скорее всего, перед нами «окающая» запись фамилии, которую на письме закрепили в форме Богайсков, хотя в быту она могла произноситься как Богайсков или даже Богайский.

Основа фамилии — «Богай» или «Богайко». Это могло быть прозвище от украинского или польского слова «богай» (в диалектах — «богач», «богатый человек»). В таком случае фамилия означала «сын богатого» или «потомок богача». Но есть и другая версия: в некоторых говорах «богай» — это «болото», «топь» (сравните с польским «bagno»). Тогда прозвище Богай давали человеку, жившему у болота, или тому, кто вяз в делах, как в трясине. В пользу болотной версии говорит то, что фамилия могла возникнуть в регионах с обилием торфяников — например, на Полесье или в Смоленской области.

Форма Богайсков — это притяжательное прилагательное с суффиксом -ск- и последующим -ов. Такое образование типично для фамилий, которые фиксировались в документах XIX века, когда писарь «обрусивал» польскую или малороссийскую фамилию, добавляя русское окончание. То есть первоначально человек мог писаться Богайский, но при переписи населения или в ревизских сказках его записали как Богайсков — по аналогии с массовыми фамилиями на -ов.

Географически фамилия тяготеет к юго-западу России и востоку Украины. Встречается она крайне редко, и это даёт основание предположить, что носители Богайсков — потомки одной небольшой семьи или даже одного рода, который мог переселиться в центральную Россию из Польши или Беларуси в XVII–XVIII веках. В любом случае, фамилия хранит память о прозвище, которое либо указывало на достаток, либо на особенности ландшафта — и то, и другое типично для народной ономастики.