Фамилия Богайков — редкий случай, когда основа не лежит на поверхности. На первый взгляд в ней слышится что-то «богатое», но это, скорее всего, ложный след. На деле корень здесь — «гай», а не «бог».

Правильнее всего разбить фамилию на части: Бог-ай-к-ов. Суффикс -ай- в русских прозвищах часто указывал на характерный признак или действие. Например, «кривляка» или «гуляка». В основе лежит глагол «богать» — в диалектах (особенно северных и сибирских) он означал «кричать, шуметь, издавать громкие звуки». Соответственно, «Богай» — это прозвище крикливого, шумного человека, заводилы или того, кто подавал голос в работе (например, лесоруба или бурлака). Модель образования типична: прозвище на -ай → фамилия на -ов.

Есть и вторая, менее вероятная, но не исключённая версия. В некоторых говорах «богать» могло значить «бить, колотить». Тогда Богай — это драчун или молотобоец. Оба значения сводятся к одной модели: фамилия происходит не от имени, а от яркого, «говорящего» прозвища, которое давали по поведению или занятию.

Географически фамилия Богайков встречается в основном в центральных и южных регионах России, а также в Казахстане (куда попала с переселенцами). Она редкая: по открытым данным, носителей — не более нескольких сотен человек. Это объясняется тем, что основа «богать» — диалектная, не вошедшая в литературный язык.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Богай, Богайчук, Богайло) подтверждает, что перед нами не тюркский или финно-угорский след, а чисто восточнославянское прозвище. Суффикс -ов присоединился стандартно, как у большинства русских фамилий, и означает «сын Богая» или «принадлежащий Богаю».

Таким образом, предок носителя фамилии Богайков был, скорее всего, человеком с громким голосом — либо крикуном на базаре, либо тем, кто подавал команды в артели. Фамилия сохранила память о живом, неспокойном характере, а не о богатстве или знатном происхождении.