Фамилия Богданчкова — редкий пример, когда женская форма закрепилась в документах раньше мужской или наравне с ней. Она образована от мужской фамилии Богданчков, а та, в свою очередь, от прозвища или имени Богданчо. В русском языке суффикс -чк- (в основе Богданч-) указывает на уменьшительно-ласкательную форму исходного имени Богдан. То есть Богданчо — это «маленький Богдан» или «Богдан, которого ласково зовут». Фамилии на -ов/-ев традиционно означают принадлежность: «чей?» — «сын Богданчка» (то есть потомок человека, которого звали Богданчо).

Имя Богдан — славянское, калька с греческого Феодор (Теодор): «Богом данный». В крестьянской и посадской среде оно было распространено, но в дворянской — редко, потому что церковь предпочитала канонические имена. Фамилия Богданчков могла возникнуть в северных и центральных губерниях России, где были популярны уменьшительные формы с суффиксом -чк- (сравните: Иванчо, Петрушко). Встречается она и сейчас, но шанс найти её носителя невысок: по открытым данным, в России живут единицы семей с такой фамилией, преимущественно в Поволжье и на Урале.

Интересно, что фамилия Богданчкова может быть и «матронимом» — то есть происходить от женского имени или прозвища. В редких случаях, когда женщина Богданча (или Богданчка) была главой семьи или вдовой, её дети записывались как Богданчковы. Но основная версия всё же мужская: через прозвище Богданчо. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, происходил из крестьян или мещан, а его дальний родственник был назван в честь долгожданного ребёнка — «данного Богом».