Фамилия Богиш — редкий случай, когда основа не очевидна с первого взгляда. В русской ономастике она стоит особняком, потому что не укладывается в привычную модель «отчество + суффикс». Суффикс -иш здесь не типичный русский: в славянских фамилиях он почти не встречается, зато характерен для западноукраинских, польских и белорусских говоров. Если бы фамилия была русской, она звучала бы как Богин или Богов. Форма на -иш указывает на польское или украинское влияние, а возможно, и на более сложное происхождение.

Самая вероятная версия — фамилия образована от имени Бог (Богуслав, Богдан) с уменьшительным суффиксом -иш, который в польском языке даёт ласкательные формы: Bogisz — что-то вроде «Боженька» или «маленький Бог». В таком случае Богиш — не прозвище, а патроним, то есть «сын Бога» или «потомок Богдана». Правда, прямое отождествление с христианским Богом маловероятно: скорее всего, основа — сокращение от двусоставного имени, где первый корень «бог» означал «удача, счастье» (как в имени Богдан, Богумил).

Вторая версия — прозвище от слова богиш в значении «богатый» или «богач». В южнославянских языках (сербском, хорватском) слово bogiš встречается как архаизм со значением «богатый человек» или «божья милость». Если предки носителя фамилии жили на Балканах или в Закарпатье, прозвище могло закрепиться за зажиточным крестьянином или купцом. В пользу этой версии говорит географическая привязка: фамилия Богиш сегодня чаще всего встречается в Сербии, Хорватии и среди русинов Закарпатья, а в России — единичные случаи, в основном у потомков переселенцев из Австро-Венгрии.

Третья, более спорная гипотеза — тюркское происхождение. В некоторых тюркских языках есть слово bogïš (богыш) — «дар, подарок» или «милость». Если фамилия возникла в зоне контакта славян и тюрок (например, в Подолье или Буковине), она могла быть прозвищем для щедрого человека или того, кого считали «божьим даром». Но эта версия слабее: суффикс -иш в славянских фамилиях тюркского происхождения почти не фиксируется, и скорее всего, это случайное звуковое совпадение.

В любом случае, фамилия Богиш — не массовая, а штучная. Её носители, вероятно, происходят с западнославянских или южнославянских земель, где фамилии на -иш были в ходу. В России она не прижилась из-за чуждой модели словообразования, поэтому каждый носитель этой фамилии — потомок либо переселенца, либо человека, чья семья сохранила редкую диалектную форму.