Фамилия Богаш — редкий пример того, как одно и то же слово могло попасть в русский именослов из двух разных языковых источников, и в каждом случае значение было своим.

Самый очевидный путь — от тюркского прозвища. В тюркских языках «богаш» (или «багаш») означало «молодой баран», «ягнёнок», иногда — «теля». Такое прозвище могли дать человеку за мягкий, безобидный характер, за внешнее сходство (кудрявые волосы, округлое лицо) или просто в шутку. Тюркские прозвища — один из главных источников русских фамилий юга и юго-востока России, особенно в казачьих областях, на Урале и в Сибири. Фамилия Богаш встречается у донских и кубанских казаков, что подтверждает эту версию.

Вторая версия — от календарного имени. В православных святцах есть редкое имя Амвросий (в просторечии Абросим, Обросим). В ряде говоров, особенно на севере и в центральной России, имя Абросим могли стягивать в «Бросим», «Брош», а затем переосмысливать как «Богаш» — под влиянием слова «богатый». Такие фонетические переходы (Абросим → Бросим → Брош → Богаш) не редкость в народной этимологии. Эта версия объясняет, почему фамилия могла возникнуть не только в тюркской, но и в чисто русской среде.

С точки зрения словообразования, фамилия Богаш — бессуффиксная, то есть образована напрямую от прозвища или имени без добавления типичных фамильных суффиксов -ов/-ев, -ин. Такие фамилии характерны для западных и юго-западных регионов России, Украины и Белоруссии, где бессуффиксная модель была распространена. Поэтому носители фамилии Богаш могут быть как потомками тюркского «ягнёнка», так и потомками крещёного Амвросия.

Спор между версиями решает география. Если предки происходили с Дона, Кубани или из Поволжья — скорее всего, прозвище тюркское. Если из центральных областей России или с Украины — вероятнее, из имени Амвросий. В любом случае, фамилия Богаш не имеет отношения к «богатству» напрямую, хотя народное сознание могло сблизить их.