Богодай — одна из производных форм канонического мужского имени Богдан, которое пришло в русский язык из болгарского. В переводе это имя означает «данный богом». Одним из покровителей этого имени стал священномученик Феодот Кесарийский, принявший при крещении имя Богдан. Таким образом, потомок человека, обладающего именем Богодай, со временем получил фамилию Богодаев.