Фамилия Богреев — редкая и неочевидная с точки зрения корня. На первый взгляд она сбивает с толку: ни «богр», ни «богра» в современном русском языке нет. Но если присмотреться, основа здесь — диалектное или просторечное слово «богрый», которое в некоторых говорах означало «рыжий», «красноватый», «багровый». В таком случае Богреев — это вариант фамилии Багреев, где гласный «а» перешёл в «о» под влиянием акающего произношения (как говорят: «малако» — «молоко», но в обратную сторону). Человека с рыжей бородой или ярким румянцем могли прозвать Богрым, а его потомки стали Богреевыми.

Есть и другая, менее вероятная версия: от имени Бограт — армянского варианта имени Баграт (в переводе «богоданный»). Однако для русской фамильной модели это нетипично: суффикс -ев обычно присоединяют к основам на мягкий согласный или -й, а «Бограт» дал бы скорее Богратов. Так что первое объяснение надёжнее и укладывается в общую картину русских прозвищных фамилий по цвету волос или кожи.

Суффикс -ев указывает на принадлежность: «чей?» — Богреев, то есть сын или потомок Богрея. Сама форма Богрей — это усечённое прозвище, образованное по той же модели, что и Добрый → Добрей, Хитрый → Хигрей. Такие прозвища были распространены в северных и центральных губерниях России, особенно в Вологодской, Архангельской и Костромской областях. Там же чаще встречается и фамилия Богреев — в метрических книгах XIX века её фиксируют в основном в Ярославской и Владимирской губерниях.

Фамилия не получила широкого распространения и осталась локальной. В дореволюционных списках Богреевы — преимущественно крестьяне и мещане, без связи с дворянством. Это типичная «прозвищная» фамилия, которая не потеряла связи с исходным словом: если бы не редкость, её носитель сегодня мог бы и не задумываться, что его предок был «богрым» — рыжим, краснолицым или просто заметным внешне.