Фамилия Богрешов — редкий случай, когда основа не бросается в глаза и не лежит на поверхности. В ней нет очевидного «бога» или «греха», хотя первое, что приходит на ум — попытка разбить слово на «Бог» и «реш». На деле всё сложнее и интереснее.

Словообразовательная модель типична для русского северного и центрального ареала: суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?»), прикреплён к основе Богреш-. Сама основа — это, скорее всего, усечённая или диалектная форма личного имени или прозвища. Наиболее правдоподобная версия: Богреш — вариант канонического имени Григорий (от греческого «бодрствующий»). В народной речи имя «Григорий» претерпело множество изменений: Гриша, Гришаня, Гришко, а в некоторых говорах — Григора, Григор, Григорушка. Форма «Богреш» могла возникнуть из «Григореш» (через «Григор» и «Григореша») с последующим озвончением начального «г» в «б» под влиянием соседних звуков или просто как местное произношение. Такие переходы (г → б, к → п) встречаются в диалектах, особенно в южновеликорусских.

Вторая, менее вероятная версия — связь с тюркским корнем. В языках Поволжья есть слово «багр» или «багыр» (медь, медный), а также «багыш» (взгляд, вид). Однако фамилия Богрешов не характерна для татарских или башкирских родов — у них преобладают модели на -ов/-ев, но с другими основами. К тому же суффикс -ов в русской огласовке обычно указывает на славянское происхождение носителя.

Географически фамилия встречается крайне редко. Основные очаги — Вологодская и Архангельская области, а также отдельные записи в Пермском крае и на Урале. Это согласуется с версией о диалектном имени Григорий: именно в северных говорах сохранились архаичные формы, а фамилии на -ов там массово закрепились в XVI–XVII веках.

Социальный контекст: Богрешовы — почти наверняка потомки крестьян или посадских людей. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. В документах XVIII–XIX веков носители встречаются среди черносошных (государственных) крестьян, реже — среди однодворцев. В метрических книгах фамилия иногда писалась с двумя «с» — Богрессов, что ещё раз подтверждает её «живое», устное происхождение.

Таким образом, фамилия Богрешов — это не загадка, а слепок народной фонетики: от Григория через Григореша к Богрешу. Предок носителя, скорее всего, был просто Гришей, которого в его деревне называли по-своему.