Фамилия Богрий — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Она не вписывается в распространённые модели, где основа — крестильное имя или профессия. Здесь скорее всего два пути, и оба ведут в украинскую или южнорусскую среду.

Первый и самый прямой вариант — от прозвища Богрый. В южнорусских и украинских говорах «богрый» — это то же, что и «багровый», то есть тёмно-красный, цвета запёкшейся крови. Прозвище могли дать по цвету лица (румянец, багровый от гнева или загара), по рыжине волос или по одежде. Слово «багровый» родственно древнерусскому «богръ» — пурпур, багряница. Фамилия могла закрепиться в форме Богрий, если носитель говорил на «акающем» диалекте, где «богрый» звучало естественно, а не как «багровый».

Второй вариант — отчество от украинского имени Богдан или его сокращённой формы Богр. В украинской традиции имя Богдан (Богом данный) давали ребёнку, рождённому после долгих молитв. Уменьшительно-ласкательные формы — Богдась, Богданко, Богр. От последнего и пошла фамилия Богрий по модели «чей?» — Богрий сын. Эта версия менее вероятна, потому что от имени Богдан чаще образовывали фамилии Богданов, Богданенко, Богданович, а Богрий — слишком редкий вариант.

Фамилия распространена на Украине, особенно в центральных и северных областях (Киевская, Черниговская, Житомирская), а также в приграничных районах России — Белгородской, Курской, Воронежской областях. Встречается и у потомков запорожских казаков. Суффикс -ий указывает на украинскую модель образования: это не притяжательное прилагательное (как русское -ов/-ев), а качественное, отвечающее на вопрос «какой?» — богрый, то есть багровый. Такая модель характерна для прозвищных фамилий, которые застыли в форме прилагательного.

В целом, наиболее правдоподобная версия — прозвище по внешнему признаку. Менее вероятное, но возможное — от имени Богдан. Спорных гипотез, вроде связи с «бог» или «богатырь», лучше избегать — они не подтверждаются ни словообразованием, ни географией фамилии.