Фамилия Богровский — редкий случай, когда корень и суффикс вступают в очевидное, но не единственное смысловое противоречие. Основа «богр» сразу наводит на мысль о красном цвете — багровом, багряном. Однако суффикс «-овский» типичен для польских, украинских и белорусских фамилий, образованных от названий мест. Если бы фамилия была просто Богров, её можно было бы уверенно связать с прозвищем по цвету лица или одежды. Но «-ский» указывает на топоним: скорее всего, предок носил фамилию по названию села или местечка Богрово, Богровка или Богров.

Таких топонимов в исторической Польше и на западе Украины было несколько. Например, село Богров (Bogrów) в бывшем Перемышльском воеводстве или Богровка на Подолье. Человек, переселившийся оттуда, получал прозвище «Богровский» — то есть «из Богрова». Это стандартная модель для шляхетских и крестьянских фамилий в Речи Посполитой.

Вторая версия, менее вероятная, но не отбрасываемая полностью — происхождение от прозвища «Богрый» (багровый). В этом случае фамилию могли дать человеку с румяным или красным лицом, либо тому, кто носил яркую одежду. Но тогда форма была бы Богров или Богрых, а не Богровский. Суффикс «-ский» здесь выглядит искусственным, как позднее канцелярское оформление, когда крестьянам в XIX веке приписывали фамилии по прозвищу с добавлением «-ский» для благозвучия.

Интересно, что фамилия не имеет отношения к слову «бог» — это случайное созвучие. В старых документах встречается написание «Багровский», что подтверждает цветовую гипотезу, но большинство носителей закрепили форму через «о».

Сословно Богровские чаще всего были крестьянами или мещанами западных губерний Российской империи — Волынской, Подольской, Киевской. В дворянских родословных книгах фамилия не числится, что косвенно подтверждает её «географическое» происхождение от небольшого села, а не от знатного рода.

Если ваши предки — Богровские, стоит искать корни в украинских или польских метриках конца XVIII — начала XIX века, особенно в сёлах с названием Богров или Богровка.