Фамилия Богрова — женская форма от Богров, и в её основе лежит прозвище Богрый. Споров о происхождении этого прозвища два, и обе версии по-своему ярки. Первая отсылает к слову «багор» — тому самому железному крюку на длинном шесте. В. И. Даль в своём словаре даёт этому предмету точное определение, а русский фольклор добавляет красок: «За чужим добром не гоняйся с багром». Отсюда идёт и образ прозвища: человек хваткий, цепкий, по-своему самобытный — этакий собиратель, уверенный, что в хозяйстве всё пригодится. Вторая версия ведёт к прилагательному «багровый», то есть густо-красный, пурпуровый. На Руси красный цвет считался цветом красоты, и если прозвище пошло от него, то прозвали так человека за редкую стать или румянец. Какая из гипотез ближе к истине — сказать трудно, обе имеют право на жизнь. Ясно одно: фамилия Богрова довольно редкая по сравнению с массовыми «цветовыми» фамилиями вроде Белова или Чернова. Модель образования здесь стандартная: суффикс -ов/-ев указывает на принадлежность, то есть Богрова — это «дочь (или жена) Богрого».