Фамилия Богрева — женская форма фамилии Богрев, и её происхождение неочевидно с первого взгляда. В русской ономастике нет общепринятой версии, поэтому приходится опираться на словообразовательный анализ и возможные диалектные корни.

Скорее всего, основа «Богр-» восходит к древнерусскому или диалектному слову «богрый» — синониму «багровый», то есть тёмно-красный, пурпурный. В говорах встречалось и «богряный» (окрашенный в багрец). Тогда прозвище Богрый могли дать человеку с румяным лицом, рыжими волосами или же тому, кто носил одежду яркого красного цвета. Суффикс -ев указывает на принадлежность: «чей?» — Богрев, то есть сын или потомок Богра. Модель образования типична для русских фамилий от прозвищ на -ый, которые переходили в -ов/-ев.

Менее вероятная гипотеза — связь с глаголом «богреть» (заботиться, оберегать), но эта лексема крайне редка и плохо документирована. В словаре В. И. Даля «богрый» фиксируется именно как цветовой термин, что делает эту версию основной.

Географически фамилия Богрева встречается в основном в центральных и северных областях России (Архангельская, Вологодская области), что косвенно подтверждает диалектное происхождение. В этих краях слово «богрый» бытовало до XX века.

С точки зрения социального контекста, носитель прозвища Богрый мог быть крестьянином или ремесленником — цветовые прозвища в среде простого народа были распространены и не указывали на знатное происхождение. Фамилия не относится к числу древних дворянских, а фиксируется в метрических книгах XIX века как крестьянская.

Таким образом, фамилия Богрева, скорее всего, происходит от прозвища по внешнему признаку — яркого, красного цвета лица или одежды, и её обладательницы ведут род от человека, которого в деревне называли Богрый.