Фамилия Богри — редкая и неочевидная для русского уха. Если отбросить интуитивное желание связать её с «богом» или «богатырём», окажется, что корни её почти наверняка не славянские. Скорее всего, это фамилия, пришедшая из молдавской или румынской языковой среды, где слово «bogat» означает «богатый». Однако суффикс -и (а не типичное русское -ов или -ин) выдает иноязычную модель: в румынском и молдавском фамилии часто оканчиваются на -и, -у, -еску. Таким образом, Богри могло быть прозвищем или именованием «богач», «богатый человек», которое впоследствии закрепилось как фамилия.

Есть и вторая, менее вероятная, но ономастически интересная версия. В некоторых говорах русского севера слово «богря» могло означать нечто багровое, красное, связанное с цветом. Однако эта гипотеза слабая: фамилии от цветовых прозвищ в русской традиции обычно оформляются через суффиксы (например, Багров, Багрецов), а не через голую основу. Поэтому версия с молдавским/румынским «богатым» выглядит гораздо правдоподобнее.

Географически фамилия Богри встречается на юго-западе России, в Молдове и на Украине — в тех регионах, где исторически жили молдаване или было сильное румынское влияние. В дореволюционных списках она не фиксируется как дворянская или купеческая; скорее всего, это фамилия крестьян или мещан, которую дали по хозяйственному положению семьи. В отличие от фамилий с окончанием -огло или -еску, Богри не указывает на профессию или отца, а прямо характеризует достаток предка.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Богатый, Богатов, Богря) показывает, что в русской среде предпочли бы суффиксальную форму, а Богри — это «слепок» с иноязычной модели без переделки. Носитель такой фамилии мог быть потомком молдавского переселенца, который получил прозвище зажиточного хозяина, или же — что реже — выходцем из польских земель, где фамилии на -и тоже встречаются, но с другим значением (от имени Богуслав). Однако в польском случае форма была бы скорее Богрый или Богрич.

Словообразовательно фамилия стоит особняком: отсутствие русского патронимического суффикса делает её «короткой» и легко запоминающейся. Это не переделка чужой фамилии, а прямое заимствование прозвища. Если ваш предок носил фамилию Богри, то с высокой долей вероятности он происходил из юго-западных губерний Российской империи, и его семья когда-то выделялась среди соседей достатком.